高校では自然数の素因数分解の一意性は学びますが、なぜそうなるかは説明されません。また、ユークリッドの互除法で２つの自然数の最大公約数を求めることができることも知りますが、求まる理由は説明されません。不定一次方程式の解がいつ存在するかも明らかにされないまま、解を求めたりもしています。2つの自然数の公約数はいつでも最大公約数の約数であることを、素因数分解の一意性を使わずに説明できるでしょうか。大学での学修が進めば、これらのことが一挙に解決するばかりではなく、同じようなことが多項式の世界でも成立することを学ぶことになります。

微分方程式の解の存在定理を学修します。その名の通り、微分方程式の解がある条件の下で存在することを保証する定理ですが、存在性が分かっても解の表現の仕方が分からないのでやや抽象的な学びとなります。抽象的というとなんだか興味が薄れてしまいがちですが、数学を研究するには抽象論を理解することはたいへん重要です。一緒にとことん数学の面白さを探求しましょう。

整数論(初等整数論)から出発して、群の理論を学んでいきます。群の公理は簡単なものですが抽象的でとっつきにくいものです。しかし「とっつきにくい」群論を、豊富な実例、すなわち群が応用上あらわれる最も自然な姿である対象群を例にとりながら、自然と身につくよう授業を進めていきます。

リーマン積分を用いて具体的な図形の面積や体積を測ることは、高校以来学んできました。本科目では、“測れる”という概念をルベーグの理論により見直すことで、測れる対象を具体的な図形から抽象的な集合へ拡張します。そして、測度と呼ばれる数学的な“測り”を導入することでルベーグ積分を導入します。