吉田講師は、素数が数の世界を広げるとどう変わるのかを研究しています。通常、私たちが知っている「素数」は、1とその数自身でしか割り切れない数(例えば2, 3, 5, 7…)ですが、虚数(例えば√－1のこと)を含む新しい数の世界では、これまでの素数が別の数に分解できてしまうことがあります。
「例えば、2＝(1＋i)(1－i) 、5＝(2＋i)(2－i)というように、虚数を含めた世界では2,5はさらに分解できるのです。いっぽう、3, 7, 11は素数のまま。このように、数の世界を広げたときに、どの素数が分解できるのか、そこにどんな法則があるのかを解き明かそうとしています。この研究は数の性質の奥深さを知る手がかりであると同時に、数学の基礎を支える重要なテーマだと言えるでしょう」

現在、吉田講師が力を注いでいるのは、楕円曲線の有理点の構造を調べること。楕円曲線とは、y²＝x³＋ax＋bという形のなめらかな曲線のことで、数学のさまざまな分野で登場する重要な対象です。
「この楕円曲線の上では、点と点を足し合わせる特別なルールを決めることができます。数の足し算と同じように、曲線上の2つの点を足し合わせて新しい点を求めることが可能。そして、有理数の座標を持つ点の集まりを『Mordell-Weil群(モーデル・ヴェイユ群)』と呼びます。この群の大きさや性質については未解明の部分が多く、現在も世界中の数学者たちが研究を続けています」

吉田講師によると、大学の数学は高校の数学と比べて非常に難解なのだそうです。「高校で数学が得意だったから」という理由で進学し、挫折を経験する学生が多いのだとか。特に、大学の数学は証明が中心となるため、面食らう学生が多いとのことです。
「大学の数学は、地道に一歩ずつ理解を積み重ねていくことが大切です。だからこそ、ゼミではみんなで一冊の本を読み、インプットしたことを発表してもらうという取り組みを行っています。文章の行間をしっかり読み取って理解しなければ、本当の意味で内容をつかむことはできません。そのため、ただ文字を追うだけでなく、考えを深めて疑問を持ちながら読み進めることが重要です。そうすることで、数学に真摯に向き合う姿勢が自然と身につくでしょう」

楕円曲線の研究には、代数学の理論だけでなく、幾何学のテクニックも欠かせません。また、L関数という解析的な対象とも関わりがあり、さまざまな分野とのつながりを通して、数学に対する広い視野を養うことができるそうです。
「さらに、暗号理論に代表されるように、数学が私たちの実生活でどのように活用されているかを実感できるのも、この研究の魅力だと言えるでしょう。以前、学生たちに暗号を解読する課題を出したところ、パソコンの計算ソフトを駆使しながら、みんな楽しそうに取り組んでいました」